En física matemática, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de la Relatividad de Einstein. El modelo fue desarrollado por el matemático alemán Hermann Minkowski (1).
En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una
dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representa al espacio-tiempo. El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad de curvatura nula e isomorfa donde el tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:
O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:
con lo cual el tensor métrico se escribe simplemente como:
Físicamente el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximación local del espacio-tiempo en regiones razonablemente pequeñas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por sí misma. Este hecho queda recogido en el Principio de Equivalencia: Este principio afirma que: «un sistema inmerso en un campo gravitatorio es puntualmente indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado».
En suma, se toma el tiempo como una dimensión física mas (espacio tetra-dimensional). Sin embargo el tiempo es difícilmente clasificable y una larga lista de pensadores entre los que se encuentran Kant, Heidegger, Mach, Godel , Einstein, etc disienten sobre su esencia y llegan a postular que no tiene existencia per se. Pero aunque el tiempo no tiene dimensión física si tiene una base real que es el cambio en las dimensiones espaciales. Las 3 dimensiones Euclideas. Con todo ,también para Godel (2)(uno de los mejores matemáticos de la Historia , amigo y confidente de Einstein , matiza que esta teoría es especulación y no puede afirmarse con un grado razonable de certeza que el esquema del espacio-tiempo (cuatro dimensiones) de TE describa realmente la estructura objetiva del mundo material. A partir de esta conjetura vemos:
Teoria de la Relatividad Especial (RE): La teoría de la relatividad especial, también llamada teoría
de la relatividad restringida, es una teoría de la física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y de obtener todas las consecuencias del principio de relatividad de Galileo. Según él, cualquier experimento realizado en un sistema de referencia inercial se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial. La RE cambió las relaciones entre las coordenadas de un par cualquiera de sistemas de referencia inerciales. Dichas relaciones
MINKOWSKI
implican fenómenos que chocan con el sentido común, como son la contracción espacial,
la dilatación del tiempo, un límite universal a la velocidad, la equivalencia entre masa y energía o la relatividad de la simultaneidad entre otros, siendo la fórmula E=mc2 o la paradoja de los
gemelos dos de los ejemplos más conocidos. (3). La E tuvo también un impacto en la filosofía,
eliminando toda posibilidad de existencia de un tiempo y de un espacio absolutos en el conjunto del Universo, tal como los había concebido Newton.
Postulados de la Relatividad Especial:
Einstein propuso que una teoría de cuerpos en movimiento que fuera compatible con las ecuaciones del electromagnetismo clásico debía satisfacer dos condiciones:
1.Primer postulado (principio de relatividad) : La observación de un fenómeno físico por más de un observador inercial debe resultar en un acuerdo entre los observadores sobre la naturaleza de la realidad (es decir, la teoría debe presentar covariancia de Lorentz). La naturaleza del universo no debe cambiar para un observador si su estado inercial cambia. Toda teoría física debe ser matemáticamente similar para cada observador inercial, presentando a lo sumo variaciones dentro del rango de las condiciones iniciales de la misma y las leyes del Universo son las mismas sin que importe el marco de referencia inercial.
2. Segundo postulado (invariabilidad de la velocidad de la luz (c)): La Luz siempre se propaga en el vacío con una velocidad constante c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor y del estado de movimiento del observador. Estas dos condiciones por sí mismas, no determinan completamente la RE y es necesario añadir supuestos adicionales para constituir una axiomatización razonable de la teoría . Además el primer postulado, históricamente ha ocasionado cierta confusión, y llevó erróneamente a pensar que el formalismo de la teoría sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales . Hasta aquí no se ha utilizado el concepto de espacio-tiempo tetradimensional.La teoría física dada por la mecánica clásica, y por la gravedad Newtoniana es consistente con la Relatividad Galileana, pero no con la Relatividad Especial. Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la
Relatividad Galileana, a menos que se acepte la existencia de un éter físico. En un sorprendente número de casos, las leyes de la física de la RE (como en el caso de la famosa ecuación E=mc2) se pueden deducir combinando los postulados de la Relatividad Especial con la hipótesis de La Relatividad General (RG) que es una teoría de la gravitación desarrollada por Albert Einstein entre 1907 y 1915, y que las leyes de la RE se asemejan a las leyes de la mecánica clásica cuando se utiliza un límite no-relativista.
Relatividad General: La relatividad general (RG) es una teoría de la gravitación que fue desarrollada por Albert Einstein entre 1907 y 1915. De acuerdo a esto la atracción gravitatoria observada entre masas se debe a una curvatura del espacio-tiempo y por tanto un reflejo de la geometría del mismo y no de fuerzas a distancia como en la teoría newtoniana de la gravedad. Antes de la llegada de la teoría de la Relatividad, la ley de la gravitación universal de Newton de 1686 había sido aceptada por más de doscientos años como una descripción válida de la fuerza de la gravedad. En ese modelo, la gravedad se consideraba el resultado de una fuerza de atracción inherente entre dos masas, que actuaba a distancia instantáneamente. Aunque hasta el mismo Newton era consciente de la naturaleza desconocida de esta fuerza, el esquema resultante fue extremadamente preciso en la descripción del movimiento, con éxitos tales como la predicción de la existencia de Neptuno a partir de las variaciones en la órbita de Urano.
La RG sustituyó a la teoría de la Gravitación Universal de Newton dando cuenta de muchos
efectos que no podían ser explicados, como las anomalías en la órbita de Mercurio y de otros
planetas. También hace numerosas predicciones sobre los efectos de la gravedad, como la
curvatura de la luz y la disminución del tiempo con la gravedad. Además, la RG predice un nuevo fenómeno conocido como ondas gravitatorias. A pesar de que RG no es la única teoría relativista de la gravedad, es la más simple de ellas consistente con los datos experimentales. Provee los fundamentos de nuestro actual entendimiento sobre los agujeros negros que son regiones del espacio donde la atracción gravitatoria es tan fuerte que ni siquiera la luz puede escapar de ella.
Se piensa que su inmensa gravedad es la responsable de la intensa radiación emitida por ciertos tipos de objetos astronómicos (como núcleos galácticos activos o microquasares). La curvatura de la luz debido a la gravedad puede llevar a un curioso fenómeno: en el cielo se pueden observar múltiples imágenes de un mismo objeto astronómico visible. Este efecto es conocido como lente gravitatoria y su estudio es parte importante de la astronomía. «Evidencias muy indirectas» de las ondas gravitatorias han sido comprobadas por varios equipos de científicos, como los proyectos LIGO y GEO 600. La RG es también la base del modelo estándar del Big Bang de la cosmología.
En 1907 Einstein todavía estaba a ocho años de completar su teoría de la RG. Sin embargo,
basándose en el principio de equivalencia -su punto inicial para el desarrollo de esta nueva teoría-, fue capaz de hacer varias predicciones originales, las cuales podían someterse a
experimentos. El principio afirma que: «un sistema inmerso en un campo gravitatorio es
puntualmente indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado» De este modo, se podría decir que el principio de equivalencia, junto con el principio de relatividad especial son los únicos principios físicos sobre los que se apoya la RG ya que la ecuación de Einstein no está basada en ningún principio, sino que está deducida de una manera heurística.
El primer efecto nuevo , es el corrimiento al rojo de la luz a causa de la gravedad. Consideremos dos observadores a bordo de una nave espacial con movimiento acelerado. En la nave, existe un concepto natural de «arriba» y «abajo»: la dirección hacia la cual acelera la nave es «arriba», y los objetos que no están fijos a ella aceleran en la dirección opuesta, cayendo hacia «abajo». Asumamos ahora que un observador está «más arriba» que el otro. Si el observador que está debajo envía un haz de luz al observador que está encima, la aceleración hace que este haz sufra un corrimiento al rojo, tal y como se puede calcular mediante la RE. El observador que está encima medirá en el haz de luz una frecuencia menor de la que mide el observador que está debajo. Recíprocamente, la luz enviada por el observador de arriba hacia el de abajo sufrirá un corrimiento al azul, es decir, el de abajo medirá frecuencias más altas que el de arriba. Einstein dedujo que estos corrimientos de frecuencia también debían observarse en campos gravitatorios.
Una onda de luz va sufriendo gradualmente un corrimiento al rojo mientras se mueve en contra de la dirección de la aceleración de la gravedad. Este efecto se ha confirmado experimentalmente, tal y como se describe en los estudios del GPS. Este corrimiento de la frecuencias debido a la gravedad se corresponde con la dilatación del tiempo a causa de la gravedad. Dado que el observador que está más arriba mide la misma onda de luz pero con una frecuencia más baja que la que mide el observador de más abajo, el tiempo debe estar pasando más rápido para el observador de más arriba. Es decir, el tiempo corre más lento para los observadores que están más bajos en un campo gravitatorio.
Einstein descubrió varias analogías interesantes con la geometría de superficies. Un ejemplo
de ello es la transición de un marco de referencia inercial (en el que las partículas se deslizan
libremente en trayectorias rectas a velocidad constante) a un marco de referencia rotacional (en el cual se deben introducir términos extras correspondientes a las fuerzas ficticias con el fin de explicar el movimiento de las partículas): esta transición es análoga a la transición de un sistema de coordenadas cartesianas (en el cual los ejes de coordenadas son líneas rectas) a un sistema de coordenadas curvilineales (donde los ejes de coordenadas no son necesariamente líneas rectas). Una analogía más profunda relaciona las fuerzas de mareas con una propiedad de las superficies llamada curvatura . Para los campos gravitatorios, la ausencia o presencia de fuerzas de marea determina si la influencia de la gravedad puede ser eliminada o no por la elección de un marco de referencia en caída libre. Del mismo modo, la ausencia o presencia de curvatura sobre una superficie determina si es equivalente o no a un plano. En el verano de 1912, e inspirado por estas analogías, Einstein comenzó a buscar una formulación geométrica de la gravedad. Los objetos elementales de la geometría -puntos, curvas, triángulos – tradicionalmente se definen en un espacio tridimensional o en una superficie de dos dimensiones. Sin embargo, en 1907 el matemático Hermann Minkowski introdujo una formulación geométrica de la teoría especial de la relatividad de Einstein que incluye no sólo el espacio sino también el tiempo. La entidad básica de esta nueva geometría es el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Las órbitas de los cuerpos en movimiento son líneas en el espacio-tiempo; las órbitas de los cuerpos moviéndose a velocidad constante sin cambiar de dirección son líneas rectas.
Para superficies, la generalización de la geometría de un plano – una superficie plana – a la
geometría de una superficie curva general ya había sido descrita a comienzos del siglo XIX
por Carl Friedrich Gauss (5). Esta descripción a su vez se había generalizado a espacios de más
dimensiones usando el formalismo matemático introducido por Bernhard Riemann en la década de 1850(6). Con la ayuda de la geometría riemanniana, Einstein formuló una descripción geométrica de la gravedad en la cual el espacio-tiempo de Minkowski es reemplazado por un espacio-tiempo curvo y distorsionado, al igual que las superficies curvas son la generalización de las superficies planas ordinarias.
Después de haberse dado cuenta de la validez de esta analogía geométrica, Einstein tardo tres
años más en encontrar la piedra angular de su teoría: las ecuaciones que describen cómo la materia afecta la curvatura del espacio-tiempo. Habiendo formulado las ahora conocidas como ecuaciones de Einstein (o, más precisamente, sus ecuaciones de campo de la gravedad).En palabras del investigador John Wheeler, la teoría de Einstein respecto de la gravedad geométrica puede resumirse así: El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo, cómo debe curvarse.
En la gravedad de Newton, la fuerza gravitatoria es causada por la materia, más precisamente, por una propiedad especial de la materia: la masa. En la teoría de Einstein y en las formas conexas de teorías de la gravitación, la curvatura en cada punto del espacio-tiempo también es causada por cualquier materia presente, y aquí, también, la masa es una propiedad clave en la determinación de la influencia gravitatoria de la materia. Pero en una teoría relativista de la gravedad, la masa no puede ser la única fuente de la gravedad, porque la relatividad vincula la masa con la energía y la energía con el impulso.
La equivalencia entre masa y energía, según lo expresado por la fórmula «E = mc2 » es tal vez
la más famosa consecuencia de la RE. En la relatividad, la masa y la energía son formas diferentes de describir una misma cantidad física. Cuando un sistema físico tiene energía, hay que atribuir también la masa correspondiente, y viceversa. En particular, todas las propiedades de un cuerpo que están asociadas con la energía, tales como su temperatura, así como la energía de enlace de sistemas como el núcleo o las moléculas , contribuyen a la masa del cuerpo, y, por tanto, actúan como fuentes de la gravedad.
Sin embargo, hay otra consecuencia de la RE que sigue siendo válida en la RG: la energía está
estrechamente relacionada con el impulso. Si una partícula tiene energía, entonces para algunos observadores (en relación con los cuales la partícula está en movimiento), también su impulso será distinto a cero. Así como en la RE, espacio y tiempo están entrelazados y son simplemente diferentes aspectos de espacio, la energía y el impulso no son más que diferentes aspectos de una cantidad unida, de cuatro dimensiones, cantidad que los físicos llaman cuatri-momento. Por lo tanto, en una teoría relativista de la gravedad, si la energía es una fuente de gravedad, entonces el impulso debe ser una fuente de gravedad. Lo mismo puede decirse de las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el impulso, como presión interna y tensión. Tomados en conjunto, en la RG, masa, energía, impulso, presión y tensión sirven como fuentes de la gravedad, y todas estas cantidades no son sino aspectos de una mayor cantidad física general (descrita por un objeto matemático llamado el tensor energía impulso), que describe cómo se curva el espacio- tiempo.
La cantidad de curvatura que hay en cada punto de un espacio (o espacio-tiempo) determina la curvatura del espacio. Más precisamente, la función métrica y la rapidez con que cambia de un punto a otro se puede utilizar para definir una cantidad geométrica llamada Tensor de curvatura de Riemann, que describe exactamente la forma en que el espacio (o espacio-tiempo) es curvo en cada punto . En la RG, la métrica y el tensor de curvatura son las cantidades definidas en cada punto en espacio-tiempo. Además, el contenido de materia del espacio, como se ha indicado, define otra cantidad, el tensor energía-impulso T, y el principio de que «el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse», significa que estas cantidades deben estar relacionados de alguna manera. Einstein formuló esta relación usando el tensor de curvatura y la métrica para definir otra cantidad geométrica G, que ahora se conoce como el tensor de Einstein, que describe algunos aspectos de la forma en la que el espacio-tiempo se curva. La ecuación de Einstein entonces se establece que
es decir, hasta una constante múltiple, la cantidad G (que mide la curvatura) se equipara con la
cantidad T (que mide el contenido de materia). Las constantes que participan en esta ecuación
reflejan las diferentes teorías que se usaron para deducirlas: G es la Constante de gravitación
universal que ya está presente en la gravedad de Newton; c es la velocidad de la luz, la clave
constante de la RE, y π es una de las constantes básicas de la geometría. La aparición de π en la ecuación se asocia con la zona (4 π) de la unidad de materia, mientras que las constantes c y G se necesitan para convertir la cantidad T (que tiene unidad físicas) en unidades puramente
geométricas. Esta ecuación es referida a menudo en plural como ecuaciones de Einstein , puesto que las cantidades G y T son determinados por un conjunto de diez funciones de las coordenadas del espacio, y las ecuaciones equiparan cada una de estas funciones componentes. Sin embargo, a causa de la libertad de cambiar las cuatro coordenadas en las que las ecuaciones se expresan, en realidad hay solo seis ecuaciones físicas que deben cumplirse en cada punto del espacio. Esto describe una geometría particular de el espacio y el tiempo. Por ejemplo, la primera solución que se encontró, apenas un mes después de que Einstein publicara su teoría, fue la métrica de Schwarzschild, que describe la geometría esférica alrededor de una enorme y única masa no giratoria, como una estrella o un agujero negro, mientras que la solución de Kerr describe un agujero negro giratorio. Otras soluciones pueden describir una onda gravitatoria o en el caso de la más compleja solución de la Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, la expansión del Universo o Big Bang.
Todo ello como marco general no esta mal , pero si vemos lo que no cuadra, a saber su nula
correspondencia con la Mecanica Cuantica, la no existencia del Big Bang (7), la composicion muy compleja de los agujeros negros y la no existencia de la expansión o contracción del Universo conducen a la conclusión de que el modelo no es ni mucho menos perfecto. Otra cuestión es si existen las ondas gravitacionales. Todo ello deriva de la no consideración de un espacio tiempo de 4 dimensiones con curvatura inducida (tensores), que es la fuente de la gravedad. Una gravedad en el continuo espacio temporal que se contradice con el concepto discreto de los gravitones, modelo llano del Universo observable, con un parámetro de densidad de materia de aproximadamente el 30% de la densidad crítica y una constante cosmológica de aproximadamente el 70% de la densidad crítica. El principio de equivalencia, el postulado de la relatividad que supone que la masa inercial y la masa gravitatoria es lo mismo, sigue también bajo test.
El experimento Hafele-Keating en 1971 y la sondas espaciales de Prueba de la Gravedad
(probe)A y B (NASA) no validaron de forma concluyente la curvatura del espacio tiempo (4). En
resumen, la teoria de la RE asume que el espacio es de 4 dimensiones y por la geometria de
Riemann puede curvarse en forma de geodesicas. Esta curvatura seria el origen de la gravedad
en la Relatividad General ,formando un Universo infinito donde dicha gravedad se extenderia a
toda la materia y la energía. El problema es que la velocidad de la luz es muy pequeña y la
gravedad tiene como limite dicha velocidad. Las singularidades han sido la plaga de Einstein y
ocurren por no poner limites a las fuerzas operativas. Así, los agujeros negros y las estrellas de
neutrones se irían contrayendo hasta formar un punto de densidad y fuerza infinitas que harían
desparecer a los mismos. Pero no es eso lo que se observa. En la naturaleza tiene lugar la acción y la reacción y todo se relaciona de formas poco previsibles. Por ello, lo fundamental no son los grandes principios sino la interacción de la materia y la energía en todas sus formas y durante enormes periodos de tiempo que son superiores a lo que se piensa que dura el Big Bang.
Todas las teorías de Einstein se basan en la distorsión del espacio y las múltiples dimensiones
del mismo, pero aunque suene a magia esto no ha sido comprobado. Y mas pensando que el
espacio-tiempo se considera un continuo que dificulta comprender que sus transformaciones
sean compresiones o estiramientos. La Mecanica Cuantica considera que todo en el Universo
tiene sus limites y las cantidades son siempre discretas (es decir independientes entre si).
En Resumen , el espacio tetradimensional o con mas dimensiones, y que el espacio-tiempo le diga a la materia cómo moverse y la materia le diga al espacio-tiempo, cómo debe curvarse pueden ser simplemente especulaciones sin fundamento.
BIBLIOGRAFIA
1.-Minkowsky . Minkowski Space: The Spacetime of Special Relativity: 40 (De Gruyter Studies
in Mathematical Physics, 40) – 12 junio 2017.
2.- Kurt Godel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica
and Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite.
Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
3.- Einstein, Albert (1923) [manuscrito publicado 1923, en inglés 1967].
Grundgedanken und Probleme der Relativitätstheorie Fundamental Ideas and Problems of the Theory of Relativity (en alemán (1923) inglés (1967)). Nobel Lectures, Physics 1901- Estocolmo: Nobelprice.org publicado el 3 de febrero de 2015) – via Nobel Media AB 2014.
4.- Wade, Mark (2008). «Gravity Probe B» (en inglés).NASA.
5.-Consultado el 14 de octubre de 2008.1821, 1823 & 1826:
Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.
Tres disertaciones referentes al cálculo de probabilidades como fundamento de la Ley de
Gauss de la propagación de errores. trad. al inglés × G. W. Stewart, 1987, Society for Industrial
Mathematics.
6.- O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Bernhard Riemann» (en inglés),
MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews.
7.- Vargas JF,G. Universo Big sin Bang .com .World Press.Inicio en 2018.
