RESUMEN:
En relación con la primera parte de la nueva teoría cuántica de la gravedad, mediante la QFT (Quantum Field Theory), la interacción entre los gravitones o corpúsculos cercanos en tamaño al limite de Plank (PCTP) y las estructuras de los Protones y Neutrones. Los PCTP tienen una energía intrínseca del cuadrado de la energía del gluon. De esta manera al chocar con el plasma de quark -gluones los desacopla y al volver a unirse estos, se genera energía neta que se trasvasa a las otras tres fuerzas de la materia o bien se transforma en materia o antimateria (¿Antiquark?).
Los PCTP existen de forma ubicua en el Universo y tienen propiedades no bien conocidas entre las que se encuentran una viscosidad entre ellos extremadamente pequeña y probablemente algún tipo de atracción unidireccional. De todas las maneras se puede decir que no son bosones ni tienen spin 2. La evidencia de esto se puede obtener del estudio de los agujeros negros en los que solo la penetración de los PCTP puede generar gravedad ya que nada puede escapar del horizonte de sucesos de los mismos .
La física cuántica desde su génesis, ha tenido un tremendo impacto y éxito en la comunidad científica en general. La versión más moderna y precisa que describe no solo los fenómenos microscópicos, sino también los de altas energías (velocidades cercanas a la velocidad de la luz) es conocida como la Teoría Cuántica de Campos (Quantum Field Theory).
Los conceptos fundamentales que subyacen en los cálculos de extrema precisión que requiere el LHC (Large Hadron Collider) en el CERN (European Organization for Nuclear Research) se sustentan en QFT. Dicho de otra forma, QFT es la base del modelo estándar de partículas elementales (Standard Model)(SM), donde se unifican la interacción fuerte, débil y electromagnética, pero no la interacción gravitacional (Zwiebach, 2004)(1). Es importante aclarar que QFT es una plataforma general, el SM es apenas una teoría cuántica de campos con números cuánticos específicos . En principio existen infinitas QFTs pero por el momento, el SM es la que mejor describe nuestro Universo a escala microscópica (Weinberg, 1996)(3),
A pesar de que por un siglo hemos tenido control de la física que describe la dinámica de los cuerpos supermasivos a escalas cósmicas, y de igual manera, aunque de forma separada contamos con una descripción aun más precisa para el estudio de las interacciones a escalas microscópicas, muchos fenómenos naturales continúan sin ser explicados , (Larios, 2017)(2).
Ese es el caso de los efectos de la gravedad a escalas del orden de 10-15 m y10-35 m, es decir los efectos cuánticos de la gravedad (Hawking, 1975)(11). Otro paradigma abierto en la física fundamental es determinar cuál es la naturaleza de la materia y energía oscura (2).
En una primera instancia veremos muy brevemente la cuantización canónica (Weinberg, 1996)(3), la cual tiene como punto de partida una teoría clásica de campos, como la electrodinámica cuántica y la GR (General relativity). Básicamente ,se parte de un Lagrangiano con campos clásicos que respetan los corchetes de Poisson (Peskin & Schroeder, 1995)(4). Se promueven dichos campos clásicos a operadores que respeten un álgebra de conmutadores, también conocida como álgebra de Dirac. Dicho procedimiento es conocido como cuantización canónica, y una vez realizado se dice que la teoría ha sido cuantizada, y ahora está lista para realizar cálculos (generalmente perturbativos) que sirven para obtener predicciones teóricas de observables físicos a nivel cuántico.
Cuantización Canónica . La teoría clásica de campos se encarga de describir la dinámica de un sistema clásico, como por ejemplo la dinámica de los campos electromagnéticos . Es de gran interés a este nivel que la teoría sea manifiestamente invariante bajo transformaciones de Lorentz, para que respete los postulados de la Relatividad Especial (Landau & Lifshitz, 1975)(5). Una vez conozcamos el Lagrangiano covariante de la teoría clásica de campos se calculan las ecuaciones de movimiento utilizando el principio de Hamilton o bien directamente las ecuaciones de Euler-Lagrange (Weinberg, 1996).
Para ilustrar mostramos el caso de la densidad Lagrangiana de Maxwell, el cual toma la siguiente forma (Jackson, 1998)(6):
L = − 1 /4 x F μν Fμν −A μ Jμ, cuyas ecuaciones de movimiento (después de utilizar Euler-Lagrange, ∂α (∂L/ ∂αAμ) − ∂L/ ∂Aμ = 0) son la siguiente:
∂ α Fμν +∂ μF να +∂ νF αμ = 0, Ecuaciones de Maxwell , donde Fμν es el tensor de Faraday, y está definido como sigue (6): Fμν = ∂μA ν −∂ νA μ .
El cuadrivector A μ (t,x) = (φ(t,,x), A(t,,x) es una manifestación directa de la unificación del espacio-tiempo, conocido en este caso como el espacio de Minkowski , y contiene en su componente temporal el potencial escalar φ(t,x) y en sus componentes espaciales (R 3 ) al potencial vectorial A(t,x).
Como es bien conocido, el campo magnético y el eléctrico están definidos en términos precisos. Regla de correspondencia. Una vez tenemos el corchete de Poisson de los campos clásicos (y
su momento conjugado Π μ (t,x) = ∂L /∂A μ ), podemos decir que estamos a un paso para cuantizar canónicamente , (Peskin & Schroeder, 1995). Paul Dirac ,1958, utilizando su método de constricciones encontró que para cuantizar una teoría clásica de forma canónica se debe de imponer la siguiente correspondencia:
{A(t,x),B(t,y)} → 1/ ih [Aˆ(t,x),Bˆ(t,y)], donde A(t,x) y B(t,x) son dos variables canónicamente conjugadas. Aplicando la correspondencia del corchete de Poisson ,obtenemos la siguiente relación de conmutación: [Aˆ μ (t,x), ̇Aˆν (t,y)] = iδ μν δ 3 (x−y), h = 1.
Promoviendo la solución más general posible de las ecuaciones de Maxwell a operador cuántico, tenemos:Aˆμ (t,y)= ∑3λ=0 Z∞−∞dk3 /p(2π)3/2 x1√2ωk(e−ikμxμεμλ(k)aˆλk +eikμxμε∗μλ k)aˆ†λk donde ωk es la frecuencia angular relacionada con la energía (E = hωk) y con el momento (ωk = kc). Luego los cuadrivectores x μ y k μ definen la cuadriposición y el cuadrimomento, respectivamente, es decir x μ = (t,x) y k μ = (ωk,k). Luego se tiene el cuadrivector de polarización ε μ λ (k), y finalmente aˆ λk , que son los coeficientes de Fourier que heredan el carácter de operador del campo. Sustituyendo , obtenemos el álgebra de conmutación para los operadores escalera que nos servirán para crear y destruir partículas
Amplitud de Probabilidad : Los estados cuánticos que evolucionan temporalmente, tienen una dinámica. En el caso de una teoría no relativista y de partículas con espín 0, la dinámica del estado la gobierna la ecuación de Schrodinger (Hˆ S|ψ(t) = ih. ∂/ ∂t |ψ(t)). En sistemas cuánticos interactuantes, nos interesa conocer la probabilidad de transición de un estado inicial |i(sin interactuar o libre) a un estado final | f (después de interactuar). Justamente la amplitud de probabilidad nos permite conocer esta evolución temporal; esta cantidad física puramente cuántica (debido a su carácter probabilístico) se define como sigue: A = f |Sˆ|i = Sfi, El operador S es conocido como la matriz de transición S y se calcula a partir del Hamiltoniano de interacción (potencial) (Weinberg, 1996)(3). Los observables físicos que se miden de forma experimental en los aceleradores de partículas como el LHC en el CERN, son la sección diferencial de corte y el tiempo de vida media. Es justamente QFT quien nos permite conectar las predicciones teóricas con la enorme cantidad de datos que obtienen los detectores de partículas. Estas cantidades están definidas como sigue: dσ /dΩ ∝ |A| 2 , τ ∝ 1 /A2 , . Notar que la amplitud de probabilidad A pertenece a los números complejos. La amplitud A que se calcula con métodos perturbativos de QFT conecta la teoría con el experimento .
Métodos perturbativos modernos . Para describir la dinámica de un sistema que actue a nivel cuántico, es necesario resolver las ecuaciones de movimiento. Resulta que las ecuaciones diferenciales parciales que describen la dinámica de los campos no son lineales, por lo que para resolverlas se recurre a métodos perturbativos (Peskin & Schroeder, 1995)(4). Por ejemplo, si tenemos una teoría descrita por un campo escalar real φ(t,x) con un potencial (término de interacción) de la forma V(φ(t,x)) = λ/3! φ(t,x) 3 , el Lagrangiano es el siguiente :
L=1/2∂μφ∂μ φ−V(φ)=1/2(∂φ/∂t)2 −(∇φ)2 −λ/3!φ(t,x)3
cuya ecuación de movimiento toma la siguiente forma : ∂μ∂ μ φ+λφ2 = 0, forma covariante , φ+λφ2 = 0, forma estándar.
Reinterpretando la gravedad, comenzamos haciendo un recuento de los principales resultados en GR. Posteriormente introducimos la doble copia, donde la gravedad se expresa como el cuadrado de una teoría cuántica (Z. Bern, 2008). EL Lagrangiano de Relatividad General =gravedad . Las ecuaciones de campo de Albert Einstein se dedujeron inicialmente de manera muy intuitiva , aunque posteriormente con el aporte del matemático David Hilbert se formúló una densidad Lagrangiana que al variarla con respecto a la métrica reproduce las mismas ecuaciones de campo. La acción que incluye la densidad Lagrangiano de Einstein-Hilbert es la siguiente (Carroll, 2004)(12): SHE = 1/ k 2 Z √ −gRd4 x,
donde R es el escalar de Ricci y g es el determinante de la métrica del espacio-tiempo curvo, es decir g = det(gμν). Al variar la acción con respecto a la métrica (δSHE/δgμν = 0) encontramos la siguiente ecuación de movimiento: Rμν −gμνR = 8πGTμν, donde Rμν es el tensor de Ricci y Tμν es el tensor de energía momento. La ecuación de movimiento es la famosa ecuación de campo de Einstein, y el lado izquierdo nos dice cómo el espacio-tiempo se curva, mientras que el lado derecho de la ecuación codifica la materia que genera dicha curvatura .
La ecuación en el límite de un campo gμν(t,x) débil reproduce la ecuación de campo de Newton ∇ 2Φ(x) = 4πGρ .
La Gravedad como doble copia de una teoría cuántica. El modelo estándar de partículas elementales (SM), es una teoría cuántica de campos que unifica las interacciones débil, fuerte y la electromagnética . El SM no incluye la gravedad y en ese sentido tiene que ser un modelo efectivo de una teoría más general (Zwiebach, 2004) que sí involucre las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza conocidas hasta ahora. A pesar de las notables diferencias entre la teoría de la gravedad y el SM, las que se pueden apreciar fundamentalmente en sus respectivos Lagrangianos, recientemente se ha encontrado que si renunciamos a los campos cuánticos como bloques fundamentales y más bien vemos a las amplitudes A como los principales objetos microscópicos, surgen relaciones matemáticas sorprendentes que permiten ver la gravedad como una doble copia de la teoría cuántica (Z. Bern, 2008)(7), (H. Kawai, 1985)(8), es decir Gravedad = Teoría Cuántica×Teoría Cuántica . La relación matemática nos dice que a nivel perturbativo la amplitud de gravitones A es es igual a una doble copia de amplitudes de gluones (Z. Bern, 2008) (AYM). Incluso se puede dar con una amplitud que involucre fotones, cuando aparecen acoplados a campos masivos (M. A. J. Lorenzo Diaz-Cruz Bryan Larios, d). La relación matemática toma la siguiente forma A gravitones = AYM ×AYM. El resultado de la ecuacion, nos permite hacer cálculos que antes eran imposibles de realizar con los métodos perturbativos tradicionales. Gracias al tremendo avance que se ha alcanzado respecto a comprender (o quizás cambiar) los fundamentos de QFT y gravedad, solo es necesario evaluar la amplitud en el lado cúantico (AYM) y luego elevarla al cuadrado para obtener el resultado del lado de la gravedad. Este tipo de relaciones “Gravedad ∼ Cuántica2 ” solo tiene precedentes en la teoría de cuerdas, donde una amplitud con cuatro cuerdas cerradas (las cuerdas cerradas corresponden a gravitones) es igual al cuadrado de amplitud con cuatro cuerdas abiertas (H. Kawai, 1985). Recientemente, Bern, Carrasco y Johanson (Z. Bern, 2008) (relación BCJ) han generalizado el resultado que se encontró utilizando teoría de cuerdas, la llamada relación KLT (Kawai- Lewellen-Tie) (H. Kawai, 1985). La comprensión de la doble copia está incluso a nivel de Lagrangianos (Johansson & Nohle, 2017)(9). La revolución de expresar teorías de gravedad
como una doble copia cuántica incluso ha servido de ayuda para tener un nuevo formalismo que permite encontrar soluciones clásicas, por ejemplo en GR y Electrodinámica .
Autoenergía del gravitón como doble copia cuántica . Muchos físicos han estudiado los efectos cuánticos de la gravedad (Hawking, 1975). Uno de los cálculos mejor entendidos es la autoenergía del gravitón (Burns & Pilaftsis, 2014)(10), el cual es importante para conocer efectos cuánticos de la masa del gravitón. Básicamente se ha considerado el Lagrangiano de Hilbert-Einstein acoplado a materia, tanto escalar, fermiónica como vectorial. En este trabajo solo el gravitón es la partícula de spin-2 ?, además es la partícula mediadora de la interacción gravitacional, tal como lo es el fotón para el caso de la electrodinámica cuantica . Ejemplo una corriente de quarks, ver la referencia Burns and Pilaftsis (2014) para más detalles. Si calculamos la autoenergía del gravitón considerando un lazo fermiónico, la amplitud polarizada 3 toma la siguiente forma :
Πμν,ρσ G(p)=F1(p2 )(pμpν pρ pσ +p4ημνηρσ −p2 (ημν pρpσ+ηρσpμ pν (xx), dondeF1(p2 ) es el factor de forma fermiónico que figura en el lazo (corrección cuántica) de la autoenergía del gravitón. Los autores de la referencia (Burns & Pilaftsis, 2014) (10) obtienen un resultado similar utilizando el método tradicional de Feynman, en un extenso trabajo de cálculos. Sin embargo, podríamos tratar de reproducir la expresión tensorial de la ecuacion, si utilizamos el hecho que la gravedad a nivel de amplitudes (nivel perturbativo) se puede expresar como el cuadrado de una teoría cuántica (Z. Bern, 2008). Para lo que sigue, es necesario recordar la autoenergía del gluón . La amplitud para la autoenergía del gluón toma la siguiente forma (Peskin&Schroeder,1995):Aabμνgluon =−g2 (ημν p2 −pμ pν )δabΠ2(p2 ), dondeΠ2(p2)esel factor de forma del lazo fermiónico en cromodinámica cuántica (QCD inglés), . La delta de Kronecker δ ab está asociada al álgebra del grupo de norma de QCD (Peskin & Schroeder, 1995). Si se toma la parte que contiene la estructura tensorial (η μν p 2 − p μ p ν ) y luego se eleva al cuadrado (cíclicamente en los indices ν, ρ y σ) obtenemos precisamente la parte tensorial de la amplitud que se muestra en la ecuación (xx).
Lo notable de poder expresar la autoenergía del gravitón como el cuadrado de la autoenergía del gluón, es el hecho que ambos resultados surgen de teorías completamente diferentes, es decir Lagrangianos manifiestamente diferentes y con diferentes simetrías .
BIBLIOGRAFIA
1.-Zwiebach, B. (2004) A First Course in String Theory. Cambridge University Press, New York. 2.- Bryan Larios .Sobre las nuevas relaciones entre gravedad y Teoria cuantica de Campos
Revista de la Escuela de fisica de Honduras,10 junio,2019. 3.-
4.- Peskin & Schroeder,
5.- Landau L.D & Lifshitz, E.M, the classical theory of fields .Pergamon press; 4th Rev.
English edition, 1975.
6.- Jackson .D ,Classical electrodynamics .Wiley; 3 edition. 1998.
7.- Z.Bern,HJ,JJ M Carrasco (2008).New relations for gauge-theory amplitudes. Phys.Rev D 78,
(085011), 40.
8.- H Kawai,S.H.H.T.D.CLewellwn.1985. A relation between tree amplitudes of closed and
open strings. Nucl.Phys B.269,23.
9.- Johansson H, Nohle, 2017. Conformal gravity from gauge theory. arXxiv:1707.02965
(hep-th),42.
10.- Burns and Pilaftsis .a.2014. Matter quantum correction to the graviton self energy and
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11.- Hawking,S.W.1975.Particle creation by black holes. Commun.Math.Phys,43,22.
12.- Carrol S.M. 2004. Spacetime and geometry, an introduccion to General Relatity.Pearson.
